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sábado, 24 de septiembre de 2016

Series temporales complejas IV, espectro de potencia y distribución

En este nuevo artículo de la serie dedicada a la caracterización gráfica de series temporales complejas voy a hablar de otras dos herramientas gráficas que pueden resultar útiles, el espectro de potencia de la señal, que obtendremos mediante la transformada de Fourier, y la gráfica con la distribución de valores de la serie, un simple histograma con la frecuencia de los diferentes valores que también nos puede ofrecer información sobre la dinámica de la serie.

Como siempre, si quieres empezar la serie por el principio, este es el enlace al comienzo de la serie de artículos sobre caracterización gráfica de series temporales complejas. En este otro enlace os podéis descargar el ejecutable y el código fuente del proyecto GraphStudy, escrito en CSharp con Visual Studio 2013.

Trabajar con ficheros de datos con GraphStudy

Hasta ahora, las series temporales las hemos generado mediante ecuaciones diferenciales o funciones iteradas. Normalmente, lo que va a estar a nuestra disposición son datos obtenidos mediante mediciones, y desconoceremos las funciones de las que proceden dichos datos, si es que existen.

Con GraphStudy también se puede trabajar con datos, bien procedentes de archivos csv, o bien de archivos de datos generados por el propio programa. Para grabar los datos generados por las series temporales obtenidas mediante ecuaciones, simplemente hay que utilizar la opción Save Data del menú File, que guardará los datos de la serie en un archivo binario con extensión tsd. También se pueden guardar como archivos csv usando la opción Export Data to CSV, también en el menú File. En este caso, se generará un archivo para cada una de las dimensiones de la serie, con el nombre de la variable correspondiente anexado al final del nombre del archivo. Con esto podemos intercambiar datos con otros programas, como puede ser el programa R.

Si, en lugar de abrir un archivo con ecuaciones, con la extensión expr, abrimos un archivo csv o tsd, aparecerá la siguiente ventana con los diferentes comandos que podemos aplicar a los datos, muchos de ellos similares a los que ya hemos visto para el panel de ecuaciones:

Panel de datos de GraphStudy
Panel de datos de GraphStudy

Con los botones X, Y y Z podemos seleccionar la dimensión sobre la que actuarán algunos comandos. Por ejemplo, teniendo seleccionada la dimensión X, si pulsamos el botón DFT, obtendremos la transformada discreta de Fourier correspondiente a la serie de tiempo de esta dimensión.

La transformada discreta de Fourier

La transformada de Fourier consiste básicamente en operar sobre los datos, que están en el dominio del tiempo, en forma de serie temporal, y transformarlos de tal manera que pasemos al dominio de las frecuencias, es decir, los transformamos en un espectro con los distintos armónicos que están presentes en la serie.

Por ejemplo, una función sinusoidal solamente consta de una frecuencia, por lo que, al transformarla, se obtiene solamente un valor significativo para dicha frecuencia, en forma de número complejo, que representa la amplitud y la fase de la frecuencia en la señal. Para representar la gráfica del espectro de potencia de la señal, utilizamos el módulo de estos valores complejos, dibujando una barra vertical, por ejemplo, para cada uno de ellos.

El cálculo de la transformada de Fourier es bastante exigente en recursos. Con series de tiempo largas el ordenador se puede eternizar calculando, por lo que, en su lugar, se utiliza una versión “light” del algoritmo llamada transformada rápida de Fourier, o FFT, por sus siglas en inglés. Perdemos resolución respecto al cálculo completo, pero, como su propio nombre indica, es muy rápida, y nos permite hacernos una idea suficientemente aproximada.

En GraphStudy podemos obtener la DFT de una serie con el botón DFT, tanto del panel de ecuaciones como del panel de datos. Si pulsamos con el botón derecho o izquierdo del ratón sobre la gráfica, podemos ir ampliando la misma acotando los puntos de inicio y final de los datos mostrados.

En esta imagen tenemos tres ejemplos de gráficas DFT para tres tipos diferentes de series temporales:

DFT para una serie periódica, compleja y aleatoria
DFT para una serie periódica, caótica y aleatoria

La primera empezando por la izquierda pertenece a una serie logística periódica, solamente existe una frecuencia dominante, que podemos ver en el extremo izquierdo de la gráfica (la figura que se obtiene es simétrica respecto al centro de la gráfica).

La gráfica central pertenece a la ecuación logística con dinámica caótica, se puede ver que el espectro de frecuencias se vuelve casi continuo, con gran cantidad de armónicos.

La última gráfica corresponde a una serie totalmente aleatoria, generada con la función rnorm del programa R, aquí todavía está más acentuada la sensación de continuidad del espectro de potencia.

La gráfica del espectro de potencia de la señal puede resultar de ayuda a la hora de determinar si una serie presenta una dinámica compleja, pero no se suele considerar como una herramienta determinante. Existe un dato de utilidad que podemos obtener de este espectro de frecuencias, que nos dice si la serie contiene información suficiente en cuanto a su periodicidad, es decir, si incluye el máximo periodo de datos dentro del cual la dinámica se repite. Para ello, se tiene en cuenta la llamada frecuencia de Nyquist, que es la frecuencia obtenida de la inversa del doble del intervalo de tiempo de muestreo:

Fc = 1/2Δt

Si todas las frecuencias que observamos en la gráfica son inferiores a esta frecuencia, podemos decir que contiene la información necesaria para su correcto estudio. En caso contrario, o bien disponemos de una cantidad insuficiente de valores muestreados o el intervalo de muestreo ha sido demasiado grande, con lo que la serie estará distorsionada. Esto lo podemos observar en la gráfica correspondiente a la serie aleatoria, ya que la DFT no tiende a cero en sus extremos, sino que se mantiene formando una especie de banda continua. En el espectro de la serie periódica se observa, por el contrario, la única frecuencia dominante.

Distribución de los valores de la serie

Otra herramienta gráfica que puede proporcionar información visual sobre el comportamiento de la serie consiste simplemente en dibujar un histograma de frecuencias con los distintos valores de los que disponemos. En GraphStudy se puede visualizar dicho histograma utilizando el botón P. Extend, después de seleccionar la dimensión que queremos que aparezca reflejada en dicha gráfica.

En la ventana que aparecerá, con la representación de la serie, deberemos pulsar el botón Start para que el programa construya y dibuje dicho histograma. Como suponemos que los valores de la serie son continuos, existe un cuadro de texto para indicar la resolución con la que queremos dibujar el histograma. El programa dividirá los valores de la serie en tantas columnas como indiquemos en el cuadro Resolution.

El histograma para las series periódicas tendrá un aspecto como este:

Distribución de valores para una serie periódica
Distribución de valores para una serie periódica

Los histogramas correspondientes a las series con dinámica caótica serán irregulares, sin una forma definida reconocible:

Distribución de valores para una serie caótica
Distribución de valores para una serie caótica

Por último, si la serie está compuesta por valores aleatorios, presentará la forma de la distribución de probabilidades de la que proceden, por ejemplo, este es el histograma de la serie de valores aleatorios con distribución normal:

Distribución de valores para una serie aleatoria
Distribución de valores para una serie aleatoria

En el próximo artícolo hablaré sobre autocorrelación y extensión de la dimensión .

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