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sábado, 17 de septiembre de 2016

Series temporales complejas III, diagramas de fases

En este nuevo artículo de la serie sobre caracterización gráfica de series temporales procedentes de un sistema dinámico con dinámica caótica, voy a hablar de una forma de representar dichos sistemas en el dominio del espacio, de forma independiente del tiempo, el diagrama de fases. Con este tipo de diagramas, se pueden observar los atractores del sistema. Un atractor es un punto, una curva, en general, un conjunto de puntos al que convergen las ecuaciones del sistema, que nos permite hacernos una idea del comportamiento típico del mismo.

Si quieres empezar la serie por el principio, este es el enlace al comienzo de la serie de artículos sobre caracterización gráfica de series temporales complejas. En este otro enlace os podéis descargar el ejecutable y el código fuente del proyecto GraphStudy, escrito en CSharp con Visual Studio 2013.

Hasta ahora he utilizado como ejemplo la ecuación logística, de una sola dimensión. Los atractores unidimensionales no son muy interesantes, pues se encuentran limitados a una recta, así que en este artículo voy a utilizar series con más de una variable, generadas por sistemas de dos o tres ecuaciones diferenciales.

Comencemos por un atractor simple, con el sistema de ecuaciones siguiente:

Sistema periódico de ecuaciones diferenciales
Sistema periódico de ecuaciones diferenciales

Las dos series están ligadas entre sí por las variables x e y, en esta imagen se pueden ver ambas series superpuestas, en rojo la serie para la variable x y en negro la de la variable y:

Series temporales correspondientes al sistema de ecuaciones
Series temporales correspondientes al sistema de ecuaciones

Para ver el atractor del sistema, solo hay que pulsar el botón 2D Phase y, en la ventana que aparece, el botón Play, para que se dibuje. Es conveniente utilizar un valor pequeño para dt, por ejemplo 0,001, y un número grande de iteraciones, por ejemplo 10000:

Atractor con un ciclo límite
Atractor con un ciclo límite

Trazar el diagrama de fases es sencillo, en cada paso calculamos el término correspondiente a cada una de las series, y dibujamos un punto en la gráfica que corresponda con esas coordenadas. Este sistema empieza en un punto cercano al origen (0,1, 0,1), y poco a poco va siguiendo una trayectoria hasta quedar confinado en un círculo. Este círculo es el atractor del sistema, la trayectoria del sistema hasta el círculo es el estado transitorio del sistema, y el círculo constituye lo que se llama su ciclo límite. Este es claramente un sistema periódico.

Otro ejemplo de ciclo límite lo podemos ver con este otro sistema de ecuaciones:

Otro ejemplo de sistema de ecuaciones periódico
Otro ejemplo de sistema periódico

Y este es el ciclo límite que constituye su atractor:

Otro ejemplo de atractor con ciclo límite
Otro atractor con ciclo límite

Atractores extraños

En los sistemas de ecuaciones que presentan una dinámica compleja la cosa no es tan sencilla. Estos sistemas se caracterizan por tener atractores muy complejos, con infinidad de trayectorias, que forman un conjunto fractal de puntos, esto es, un conjunto cuya dimensión es un número fraccionario en lugar de un entero. A estos atractores se los denomina atractores extraños.

Un ejemplo clásico de sistema que presenta un atractor extraño es el modelo de Lorentz, que es un sistema de tres dimensiones, con tres ecuaciones diferenciales:

Ecuaciones del modelo de Lorentz
Ecuaciones del modelo de Lorentz

Las series correspondientes a las coordenadas x e y son muy similares, esta es la de la x:

Serie temporal correspondiente a la coordenada x del sistema de Lorentz
Serie temporal para la coordenada x del sistema de Lorentz

Y esta es la que corresponde a la coordenada z:

Serie temporal de la coordenada z en el sistema de Lorentz
Serie temporal del eje z en el sistema de Lorentz

Para trazar el atractor de este sistema, pulsa el botón 3D Phase. Se obtiene el conocido atractor de Lorenz, con forma de mariposa:

Atractor de Lorentz
Atractor de Lorentz

Con el botón Rotate se pueden variar las posiciones de los ejes de coordenadas para poder ver el atractor desde diferentes perspectivas. Este atractor presenta características típicas de los sistemas complejos. Tiene una dimensión algo mayor que 2, se estima que entre 2,05 y 2,07, con una estructura fractal, presenta invariancia de escala, pues por mucho que ampliemos una zona en la que se encuentren un grupo de trayectorias, encontraremos siempre un trazado similar también con múltiples trayectorias.

Otro sistema con un atractor extraño es el llamado sistema de Rössler, compuesto por las siguientes ecuaciones diferenciales:

Ecuaciones del sistema de Rössler
Sistema de ecuaciones de Rössler

Y este es el atractor en tres dimensiones del sistema, el atractor de Rössler:

Atractor de Rössler
Atractor de Rössler

Decimos que estos sistemas presentan caos determinista, pues, aunque su dinámica es caótica, están generados por sistemas de ecuaciones totalmente deterministas.

Como puedes ver, resulta fácil distinguir una dinámica periódica de una dinámica caótica dibujando el diagrama de fases correspondiente a las series. Si estas son aleatorias y no están correlacionadas, lo que obtendremos será una nube de puntos sin forma definida, como la siguiente:

Sistema aleatorio
Sistema aleatorio

En el próximo artículo de la serie hablaré del espectro de potencia y distribución de valores.

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